Маркова Ольга Анатольевна

 

Начертательная геометрия

 Начертательная геометрия - это раздел геометрии, науки о фигурах, о взаимном расположении и размерах геометрических тел, а также о преобразовании их изображений на чертежах. 

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Наглядность - пространственное представление об оригинале. Оригинал (модель) - изображаемый предмет. 

Точка - неопределяемый объект в геометрии. Каждая точка имеет свои координаты. Координатами называют числа, которые ставят в соответствии точке определения её положения в пространстве или на поверхности. В трёхмерном пространстве положение точки устанавливают с помощью прямоугольных декартовых координатах - х, у и z (абсцисса, ордината и аппликата). Точки в пространстве -- A, B, C. Проекции точек: горизонтальная --а, в, с или А`, B`, C` или А1, В1, С1; фронтальная -- а`, в`, с` или A``, B``, C`` или A2, B2, C2; профильная -- а``, в``, с`` или  A```, B```, C``` или A3, B3, C3.

Отрезок прямой (часть прямой) - это множество , состоящее из двух различных точек (концы отрезка) и всех точек, лежащих между ними.

Плоскость - поверхность, имеющая два измерения.  Некоторые свойства плоскости: 1) плоскость есть поверхность, содержащая полностью каждую прямую, соединяющую любые ее точки; 2) плоскость есть множество точек, равноотстоящих от двух заданных точек. Плоскость есть поверхность с радиусом кривизны, стремящимся к бесконечности.

Поверхность - традиционное название для двумерного многообразия в пространстве. Поверхность - непрерывное двупараметрическое множество точек.

ОСНОВНЫЕ ТЕМЫ

 Начертательная геометрия - наука, изучающая пространственные формы и способы изображения их на плоскости. В начертательной геометрии используются графические методы решения задач. Так как гра­фическое решение геометрических задач выполняют на плоском чертеже, на­чальным этапом является отображение пространственных объ­ектов на плоскость посредством проецирования, при котором совокупность точек пространства ставится в соответствие совокуп­ности точек на плоскости проекции. Способ проецирования  заключается в том, что любая точка пространства может быть спроецирована  с помощью проецирующих лучей на плоскость: 

а) центральное проецирование;      б) параллельное проецирование

Элементы поверхностей:

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелямиНаименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экваторомЛиния пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называется меридианомЛиния пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящая через ось, параллельно фронтальной плоскости проекций, называется главным меридианом.

Проецирование поверхностей:

Взаимное пересечение прямых, плоскостей и поверхностей:

Пересечение конуса прямыми и вертикальной плоскостью


Сечение конической поверхности плоскостью (эллипс, парабола, гипербола)


Пересечение пирамиды и цилиндра плоскостями

Взаимное пересечение поверхностей:

Пересечение сферы и цилиндра


Построение линии пересечения призмы с конусом начинают с нахождения очевидных точек. Такими точками являются точки А и ВЗатем определяют характерные точки, это точки С и D. Они располагаются на крайних ребрах верхней горизонтальной грани призмы. Все остальные точки линии пересечения называются промежуточными (например, точки Е и F). Для их определения используют вспомогательные параллельные секущие плоскости (а). В качестве вспомогательных плоскостей выбирают плоскости, которые пересекают обе заданные поверхности по простым линиям – прямым или окружностям, причем окружности располагаются в плоскостях, параллельных плоскостям проекций. В примере, показанном на  в, плоскость Р рассекает конус по окружности, с помощью которой находят горизонтальные проекции точек e и fНеобходимо представить себе эту линию в пространстве (б).

Построение линии пересечения треугольной призмы и цилиндра с помощью вспомогательных горизонтальных секущих плоскостей

Пересечение сферы и конуса (способ вспомогательных плоскостей)


Пересечение сферы и конуса

Для построения линий пересечения геометрических тел удобно применять способ вспомогательных сфер. В отличие от способа секущих плоскостей он имеет определенное преимущество, поскольку при построении фронтальной проекции линии пересечения поверхностей не используются другие проекции пересекающихся поверхностей геометрических телВспомогательные сферические поверхности для построения линий пересечения геометрических тел можно применять при следующих условиях:

- пересекающиеся поверхности должны быть поверхностями тел вращения;

- оси поверхностей вращения должны пересекаться, при этом точка пересечения осей является центром вспомогательных сфер;

- оси поверхностей вращения должны быть параллельны какой-нибудь из плоскостей проекций.

Вспомогательные сферы могут иметь радиусы в определенных пределах, позволяющих использовать их для построения общих точек пересекающихся тел. Пределы радиусов вспомогательных сфер находят следующим образом:

- окружность сферы наибольшего радиуса должна пересекаться с контурными образующими и первой и второй поверхности (фигуры);

- окружность сферы наименьшего радиуса должна быть касательной к одной из данных пересекающихся поверхностей и обязательно пересекаться с образующими других поверхностей.


Пересечение двух цилиндров


Пересечение конуса и цилиндра